코딩테스트/알고리즘 기초

최단 경로 :: 특정 지점까지 가장 빠르게 도달하는 방법을 찾는 알고리즘

ggulgood 2022. 4. 24. 05:13
최단 경로

 

특정 지점까지 가장 빠르게 도달하는 방법을 찾는 알고리즘

 

DFS, BFS와 차별점은 "간선의 값이 존재하며, 간선값에 따라 경로가 달라진다는 점" 이다.

 

 

다익스트라 알고리즘
  • 특정한 노드에서 출발하여 각 다른 노드까지의 최단 경로를 구해주는 알고리즘
  • 다만, 음의 간선이 없을때 정상작동이 된다
  • 최단 거리 테이블 개념이 사용된다
  • 시간복잡도 : O(E logV)
    • E : 간선수, V : 노드수

 

작동 원리

  • 방문하지 않은 노드 중에서 최단거리가 가장 짧은 노드를 고른다
    • heapq 구조를 사용해 자동으로 가져와진다
  • 이 노드를 기준으로 인접한 모든 노드에 대해, 현재 노드 + 연결된 간선값을 통한 새로운 거리 값과, 기존에 저장된 거리 값을 비교를 통해 적은 값으로 계속하여 갱신된다
  • 이러한 과정을 heapq가 없을때까지 반복하면 최종적으로 각 노드의 거리값의 최소값만 저장되어 있다
  • 즉, 시작점을 기준으로 각 노드까지 가는 최단경로의 값이 저장되어 있다

 

python 코드

import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())

# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())

# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]

# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n + 1)

# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))

# 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
    min_value = INF
    index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
    for i in range(1, n + 1):
        if distance[i] < min_value and not visited[i]:
            min_value = distance[i]
            index = i
    return index

def dijkstra(start):
    # 시작 노드에 대해서 초기화
    distance[start] = 0
    visited[start] = True
    for j in graph[start]:
        distance[j[0]] = j[1]
    # 시작 노드를 제외한 전체 n - 1개의 노드에 대해 반복
    for i in range(n - 1):
        # 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
        now = get_smallest_node()
        visited[now] = True
        # 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
        for j in graph[now]:
            cost = distance[now] + j[1]
            # 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[j[0]]:
                distance[j[0]] = cost

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])

 

 

 

플로이드 워셜 알고리즘
  • 모든 지점(a)에서 다른 모든 지점(b)까지의 최단 경로(a -> b)를 모두 구해야 하는 경우의 알고리즘
  • 경유가 있는 문제
  • 시작점과 종료점이 각각 모든노드인 것이 특징
  • 각 노드 간의 최단거리를 구할 수 있기 때문에 특정 노드를 거쳐가야 하는 경우의 최단경로 또한 손쉽게 구할 수 있다
  • N ✕ N 크기의 2차원 리스트에 최단경로 값을 저장한다
  • 시간복잡도 : O(N^3)

 

작동 원리

  • N ✕ N 2차원 리스트를 무한으로 초기화를 한 다음
  • a -> a인 본인 경로의 경우 0으로 초기화
  • for 문을 3중으로 경유점, 시작점, 끝점 노드를 돌리며
  • 시작점 -> 끝 점의 최단 경로 값과 시작점 -> 경유점 -> 끝 점의 최단 경로 값을 비교하여 최소 값으로 저장

        -> 각 노드 간의 최단 거리 값이 저장된다

 

 

python 코드

import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())

# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())

# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]

# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))

def dijkstra(start):
    q = []
    
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start] = 0
    while q: # 큐가 비어있지 않다면
        # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)
        
        # 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
        if distance[now] < dist:
            continue
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])

 

 

 

 

출처: [이것이 취업을 위한 코딩 테스트다 with 파이썬] 서적

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